- функция, определенная на множестве значений заданной функции и ставящая в соответствие каждому его элементу множество всех тех элементов из области определения рассматриваемой функции, к-рые в него отображаются, т. е. его полный прообраз. Если данная функция обозначена символом f, то О. ф. обозначается символом . Таким образом, если и - множество значений функции f, ,то для любого справедливо равенство
Если для любого элемента его полный прообраз состоит в точности из одного элемента , т. е. отображение является биекцией, то О. ф. является однозначной, в противном случае - многозначной.
Если множества Xи Yявляются подмножествами числовой прямой (или вообще нек-рых упорядоченных множеств), то условие строгой монотонности функции f необходимо и достаточно для существования обратной однозначной функции.
По ряду свойств функции f можно судить о соответствующих свойствах О. ф. Так, напр., если функция f строго монотонна и непрерывна на нек-ром промежутке числовой оси, то ее О. ф. также монотонна и непрерывна на соответствующем промежутке. Если взаимно однозначное отображение бикомпакта на топологическое хаусдорфово пространство непрерывно, то и обратное отображение непрерывно, т.е. рассматриваемое отображение является гомеоморфизмом. Когда отображение f является биективным линейным ограниченным оператором, отображающим банахово пространство Xна банахово пространство Y, то обратный оператор также является линейным и ограниченным.
Пусть f - непрерывное отображение замыкания i ограниченной области с достаточно хорошей границей в , f - дифференцируемо в Gи отображает границу Gна границу f(G) и множество нулей его якобиана образует изолированное множество; тогда если отображение f взаимно однозначно на границе области G, то оно взаимно однозначно и на Для существования локального обратного отображения в окрестности данной точки достаточно необращения в нуль якобиана отображения в нек-рой окрестности этой точки. Если - дифференцируемое отображение с якобианом, неравным нулю во всех точках , то для любой точки существует такая ее окрестность , что сужение отображения f на окрестности Uвзаимно однозначно отображает множество Uна нек-рую окрестность точки и обратное отображениетакже дифференцируемо (на V). Эта теорема обобщается и на бесконечномерный случай: пусть Xи Y - полные нормированные пространства,- открытое множество, - непрерывно дифференцируемое отображение. Если - обратимый элемент пространства линейных ограниченных операторов производная Фреше),то существуют-такие окрестности соответственно точек х 0 и в пространствах Xп. Y, что отображение является непрерывно дифференцируемым гомеоморфизмом вместе со своим обратным отображением. Лит.:[1] Колмогоров А. Н., Фомин С. В., Элементы теории функций и функционального анализа, 5 изд., М.. 1981; [2] Шварц Л., Анализ, пер. С франц., т. 1, М., 1972.
Л. Д. Кудрявцев.
Смотреть больше слов в «Математической энциклопедии»
Функция, обращающая зависимость, выражаемую данной функцией. Так, если у = f (x) — данная функция, то переменная х, рассматриваемая как функция... смотреть
ОБРАТНАЯ ФУНКЦИЯ, функция, обращающая зависимость, выражаемую данной функцией. Так, если у = = f(х) - данная функция, то переменная х, рассматривае... смотреть
ОБРАТНАЯ ФУНКЦИЯ (inverse function) Функция, обратная какой-либо другой функции. Если у=f(x), то обратная функция может быть записана так: х=f-1(у).... смотреть
ф-ция, обращающая зависимость, выражаемую данной ф-цией. Если дана ф-ция у = f(x), то О. ф. будет х = Ф(у). Напр., для у = kx + b(k не равно 0) О. ф. б... смотреть
функция, обращающая зависимость, выражаемую данной функцией. Так, если y = f(x) - данная функция, то переменная х, рассматриваемая как функция переменн... смотреть
ОБРАТНАЯ ФУНКЦИЯ, функция, обращающая зависимость, выражаемую данной функцией. Так, если y = f (x) - данная функция, то переменная х, рассматриваемая как функция переменной у: х = ?(y), является обратной по отношению к данной функции у = f (x). Напр., х= есть обратная функция по отношению к y = x3.<br><br><br>... смотреть
ОБРАТНАЯ функция - функция, обращающая зависимость, выражаемую данной функцией. Так, если y = f (x) - данная функция, то переменная х, рассматриваемая как функция переменной у: х = ?(y), является обратной по отношению к данной функции у = f (x). Напр., х= есть обратная функция по отношению к y = x3.<br>... смотреть
ОБРАТНАЯ ФУНКЦИЯ , функция, обращающая зависимость, выражаемую данной функцией. Так, если y = f (x) - данная функция, то переменная х, рассматриваемая как функция переменной у: х = ?(y), является обратной по отношению к данной функции у = f (x). Напр., х= есть обратная функция по отношению к y = x3.... смотреть
ОБРАТНАЯ ФУНКЦИЯ, функция, обращающая зависимость, выражаемую данной функцией. Так, если y = f (x) - данная функция, то переменная х, рассматриваемая как функция переменной у: х = ?(y), является обратной по отношению к данной функции у = f (x). Напр., х= есть обратная функция по отношению к y = x3.... смотреть
- функция, обращающая зависимость, выражаемую даннойфункцией. Так, если y = f (x) - данная функция, то переменная х,рассматриваемая как функция переменной у: х = ?(y), является обратной поотношению к данной функции у = f (x). Напр., х= есть обратная функция поотношению к y = x3.... смотреть
inverse function* * *inverse function
funzione inversa
мат. inverse function
• inverzní funkce• převrácená funkce
inverse function
fonction inverse
inverse function
inverse function
Umkehrfunktion
ters fonksiyon, ters işlev
inverse, inverse function
обе́рнена фу́нкція
адваротная функцыя
inverse function
inverse function
inverse function
inverse distribution, inverse distribution function